Задачи по теме «Системы счисления»

В брошюре приведены две группы занимательных задач, связанных с темой «Системы счисления». В первой группе представлены задачи на использование недесятичных систем, во второй - задачи, в которых фигурируют степени числа 2. В приложении описывается неожиданный пример использования двоичной системы счисления, связанный с одной старинной задачей. Материалы брошюры могут быть использованы как на уроках, так и в качестве домашних заданий.

1.1. Ей было 1100 лет

Ей было 1100 лет
Она в 101-й класс ходила,
В портфеле по 100 книг носила -
Все это правда, а не бред.
Когда, пыля десятком ног,
Она шагала по дороге,
За ней всегда бежал щенок,
С одним хвостом, зато 100-ногий.
Она ловила каждый звук
Своими 10-ю ушами,
И 10 загорелых рук
Портфель и поводок держали.
И 10 темно-синих глаз
Рассматривали мир привычно…
Но станет все совсем обычным,
Когда поймете наш рассказ.
А.Н. Стариков

Поняли ли вы рассказ поэта?

1.2. Загадочная автобиография

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками: «Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 11 лет - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц». Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?

1.3. Может ли такое быть?

Одна девочка написала подруге: «У меня есть братья. Всего их - 100. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе». Может ли такое быть?

1.4. Численность класса

В классе 1010 мальчиков, что составляет 101000 % от численности всего класса. Сколько в классе девочек и какова общая численность класса? Ответы получите в двоичной системе, в которой записаны все приведенные значения.

1.5. Мартышка и бананы¹

Мартышка висит на хвосте. В каждой руке по 101 бананов, а в каждой ноге - на 1 банан больше, чем в руке. Сколько всего бананов у мартышки? Расчеты проведите в двоичной системе, в которой записаны значения в условии.

1.6. Мартышка и перчатки

Мартышка-мама связала 111 перчаток своим детишкам - по перчатке на каждую руку и ногу. Но они порвали все свои перчатки, кроме младшего, который порвал только 11. Мартышка решила починить испорченные перчатки. Сколько перчаток попадет маме в работу?

Ответ представьте в системе счисления, в которой записаны значения в условии, и в десятичной системе. При расчетах используйте только операцию вычитания.

1.7. Необычный класс

В классе 1000 учеников, из них 120 девочек и 110 мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

1.8. Возможно ли это?

Один школьный учитель информатики написал: «У меня в классе 100 учеников, из них 24 мальчика и 32 девочки». Возможно ли это?

1.9. Подсчет пальцев

Один шестиклассник о себе написал так: «Пальцев у меня 24, на каждой руке 5, а на ногах 12». Как же это могло быть?

1.10. Надпись на доске

На доске сохранилась полустертая запись:

Восстановите слагаемые.

1.11. Игрушки

У одного мальчика-инопланетянина было 12 разных игрушек. Когда ему подарили еще 5, то общее число игрушек стало равно 21. Как такое могло быть?

1.12. Куклы

У одной девочки-инопланетянки была 21 разная кукла. Она отдала подруге 12 кукол, после чего у нее осталось 3 куклы. Как такое могло быть?

1.13. Большая скорость

Один инопланетянин написал, что за 4 часа, двигаясь со скоростью 400 км/ч, он проехал 3100 км. Как такое могло быть?

1.14. Яблоки

После того, как каждое из 52 яблок разрезали пополам, стало 134 половинки. В какой системе счисления велся счет при этом?

1.15. Конфеты

Один мальчик-инопланетянин разделил поровну 62 конфеты между собой, братом и двумя сестрами, и каждый получил по 14 конфет. Как такое могло быть?

1.16. Странные записи

У одного любителя математики и информатики в тетради были обнаружены следующие записи:

Как вы можете объяснить эти записи?

1.17. Равенства

В какой системе счисления справедливы равенства?

а) 3 × 4 = 10;
б) 5 × 5 = 31;
в) 2 × 2 = 100.

1.18. Существует ли система счисления?

Существует ли система счисления, в которой одновременно соблюдаются два равенства?

а) 3 + 4 = 10 и 3 × 4 = 15;
б) 3 + 2 = 5 и 3 × 2 = 11.

1.19. Размеры футбольного поля

На планете τ-Кита футбольное поле имеет размеры, как и на Земле: 105 × 68 м. Но τ-китяне записывают эти размеры так: 126 × 75 м. Почему?

1.20. Площадь комнаты

Житель планеты ά-Кентавр пишет, что размеры его комнаты 4 × 12 м, а площадь равна 53 м². Как такое могло быть?

1.21. Площадь квадрата

В учебнике, изданном на планете β-Сириус, написано: «Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Например, если сторона равна 11, то площадь равна 1001». Почему?

1.22. Четыре задачи на перестановку цифр

1. Дано число 15, записанное в некоторой системе счисления. В какой системе при перестановке его цифр значение увеличивается в три раза?

2. Какое двузначное число, записанное в девятиричной системе счисления, при перестановке его цифр увеличивается?

а) в 4 раза;
б) в 1,5 раза.

3. Есть ли такое двузначное восьмеричное число, которое при перестановке его цифр увеличивается в 1,25 раза?

1.23. Вывеска с номером дома

Один любитель информатики проживал по адресу: ул. Кременчугская, 153, корпус 6. Но когда он смотрел на вывеску с номером дома, то утверждал, что живет в доме номер 69. Как выглядела вывеска?

Вариант вопроса

Один любитель информатики проживал по адресу: ул. Кременчугская, 153, корпус 6. Но когда он смотрел на вывеску с номером дома, то утверждал, что живет в доме номер 69. Почему?

1.24. Непредвиденное затруднение

Много лет назад один состоятельный клиент покупал компьютер. Компьютер был по тем временам мощный (с процессором Pentium с тактовой частотой 168 МГц - да-да, было и такое!) и, соответственно, дорогой. Неожиданно возникла проблема: индикатор тактовой частоты процессора на системном блоке оказался двухразрядным. Стандартное в таких случаях решение - установка на индикаторе буквосочетания HI (от англ. high - высокая) - покупателя не устраивало, он требовал, чтобы индикатор показывал частоту с точностью до мегагерца. Это было сделано, причем без замены индикатора или дописывания символов на корпусе. Частота отображалась непосредственно на индикаторе, покупатель ушел довольный. Как это было сделано?

1.25. Алиса и системы счисления

В знаменитой книге Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» в главе 2 автор приводит следующую фразу Алисы, когда она пробует вспомнить то, что знала раньше: «Ой, у меня, наверное, скоро правда голова сломается! А ну-ка проверю, помню я то, что знала, или нет. Значит так: четырежды пять - двенадцать, четырежды шесть - тринадцать, четырежды семь… Так я до двадцати никогда не дойду!»

Как можно объяснить столь странные утверждения героини книги? Можно предположить, что в рассуждениях Алисы речь идет о вычислениях в недесятичных системах счисления². В каких?

1.26. Таблица из девяти чисел

В чем особенность следующей таблицы?

1.27. Таблица из 16 чисел

В чем особенность следующей таблицы?

1.28. В какой системе счисления записано число?

В какой системе счисления некоторое число N записывается в виде 6703, если в десятичной системе оно равно 4944?

1.29. Есть ли такая цифра?

Есть ли такая цифра А, при которой 432₅ < 2A1₆?

1.30. Переместить одну цифру

В выражении
101 - 102 = 1
переместите одну цифру так, чтобы оно стало верным.

Ответы

Обращаем внимание на тот факт, что при чтении стихотворения вслух слова десять (10), стоногий (100-ногий) и т.п. произносить нельзя - эти слова являются названиями чисел только в десятичной системе счисления. Поэтому и слово десятком в стихотворении является неправильным.

1.2. «Секрет» странного текста выдается фразой: «спустя год (после 44 лет), 100-летним молодым человеком...». Если от прибавления одной единицы к числу 44 получается 100, то, значит, цифра 4 - наибольшая в использованной системе счисления, а, следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятеричной системе счисления. Поэтому число, изображенное в тексте записки как 44, означает 4 × 5 + 4, то есть 24. Точно так же число 100 в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятеричной системе, то есть 25. Остальные числа записки соответственно означают:

34 = 3 × 5 + 4 =19;
11 = 1 × 5 + 1 = 6;
200 = 2 × 25 = 50;
10 = 5;
1/10 = 1/5;
130 = 1 × 25 + 3 × 5 = 40.

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:

«Я окончил курс университета 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте - всего 6 лет - способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал в месяц 50 руб., из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 руб. в месяц».

1.3. Да, если все значения записаны в двоичной системе счисления (у девочки 4 брата, младшему 8 лет, а старшему - 15. Старший учится в 9 классе).

1.4. Все расчеты следует проводить в десятичной системе. Количество мальчиков 1010₂ = 10₁₀, их доля - 101000₂ = 40₁₀ %. Тогда количество девочек равно 15₁₀, или 1111₂, а общая численность класса - 11001₂.

1.5. 22 банана (10110₂).

1.6. Определим, в какой системе счисления записаны все числа.

Так как количество «конечностей» у каждого из детишек - 4₁₀, а по условию кто-то порвал «только 11», то значения не могут быть записаны в троичной системе счисления, так как 11₃ = 4₁₀ (обратите внимание на слово «только»). Значит, использована двоичная система счисления.

Далее. Общее число связанных перчаток у 111₂ детишек равно 111₂ x 4₁₀. Для получения результата умножать нет необходимости - достаточно приписать к числу справа два нуля (11100₂). Так как непорванной осталась одна перчатка, то в ремонте побывает 11100₂ - 1 = 11011₂, или 27 перчаток.

1.7. Во втором разряде справа при сложении цифр 1 и 2 получается сумма, оканчивающаяся на 0, что возможно только в троичной системе счисления.

1.8. Это возможно в шестеричной³ системе счисления (24₆ = 16₁₀, 32₆ = 20₁₀, 100₆ = 36₁₀).

1.9. Это могло быть, если все числа записаны в восьмеричной системе счисления (5₈ = 5₁₀, 12₈ = 10₁₀, 24₈ = 20₁₀).

1.10. Последняя цифра первого слагаемого равна 1. Сумма чисел 5 и 4 может оканчиваться на 2 только в семеричной системе счисления. Весь пример:

1.11. Это могло быть, если все значения записаны в шестеричной системе счисления (12₆ = 8₁₀, 5₆ = 5₁₀, 21₆ = 13₁₀).

1.12. Это могло быть, если все значения записаны в четверичной системе счисления (21₄ = 9₁₀, 12₄ = 6₁₀, 3₄ = 3₁₀).

1.13. Это могло быть, если все значения записаны в пятеричной системе счисления (400₅ = 100₁₀, 3100₅ = 400₁₀).

1.14. В семеричной.

1.15. Это могло быть, если все значения записаны в семеричной системе счисления (62₇ = 44₁₀, 14₇ = 11₁₀).

1.16. Все расчеты проводились в восьмеричной системе счисления.

1.17.

а) в двенадцатиричной;
б) в восьмеричной;
в) в двоичной.

1.18.

а) да, существует - семеричная система счисления;

б) нет, не существует - второе равенство возможно только в пятеричной системе счисления, но в этой системе нет цифры 5, присутствующей в первом равенстве.

1.19. Удобно записать в развернутой форме⁴ двузначный размер (75). Если основание системы счисления обозначить p⁵, то:

7р + 5 = 68,

откуда р = 9.

Ответ: τ-китяне используют для записи девятеричную систему счисления.

1.20. Предположим, что использована не десятичная система счисления, а система с основанием р.

Представим все значения в развернутой форме:

4_р = 4₁₀;

12_р = р₁₀ + 2₁₀;

53_р = 5р + 3.

Перемножим размеры комнаты:

4 × (р + 2) = 4р + 8

и приравняем результат значению площади:

4р + 8 = 5р + 3,
откуда р = 5.

Ответ. Это могло быть, если все значения записаны в пятеричной системе счисления.

1.21. Используется двоичная система счисления (11₂ = 3, 1001₂ = 9).

1.22.

1. Десятичный эквивалент заданного числа равен q + 5, а числа, полученного при перестановке его цифр, - 5q + 1. По условию:

5q + 1 
------ = 3,
q + 5 

откуда q = 7.

Ответ. В семеричной.

2.

а) если искомое число имеет вид ab, то можем записать:

9b + a 
------ = 4,
9a + b 

откуда 5b = 35а или b = 7а. Так как b < 9, то имеем единственное решение: b = 7, а = 1;

б) 35.

3. Есть - это число 34.

1.23. На вывеске номер дома был указан в виде 153₆. В информатике в виде нижнего индекса указывают основание системы счисления, в которой записано число. Шестеричному числу 153 соответствует десятичное значение 69.

1.24. Для записи числа 168 в двух разрядах надо использовать систему счисления с основанием больше 12. Например, шестнадцатеричную систему, в которой число 168 записывается в виде A8.

1.25. Произведение чисел 4 и 5 равно 12 в восемнадцатеричной системе счисления, 4 и 6 = 13 - в системе счисления с основанием 21.

1.26. Если принять, что все числа в таблице записаны в двоичной системе счисления, и перевести их в десятичную, то получим:

Особенность последней таблицы в том, что сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали квадрата одна и та же (15). Это так называемый «магический квадрат порядка 3».

1.27. Изображен так называемый «магический квадрат порядка 4». В нем представлены следующие десятичные числа:

1.28. По условию задачи 6703_р = 4944₁₀. Переведем число 6703_р в десятичную систему счисления:

6703_р = (6р³ + 7р² + 3)₁₀.

Значит, 6р³ + 7р² + 3 = 4944 или 6р³ + 7р² - 4941 = 0.

Мы получили уравнение третьей степени, решать которые могут, естественно, не все учащиеся. Решением этого уравнения (методику решения мы приводить не будем) является р = 9.

Можно также преобразовать уравнение 6р³ + 7р² - 4941 = 0 к виду:

6р³ + 7р² = 4941,

или

р²(6р + 7) = 3⁴ • 61.

Проверив возможные значения р = 3 и р = 9, получим искомый результат (естественно, тот же).

Можно также найти правильный ответ путем следующих рассуждений. Прежде всего, видно, что p > 7, т.к. используется цифра 7, и меньше 10, поскольку десятичная запись числа N «меньше», чем 6703. Значит, возможны только два варианта: p = 8 и p = 9. Исследовав их, обнаружим, что подходит только вариант p = 9.

Ответ. Число записано в девятеричной системе счисления.

1.29. Представим оба заданных числа в развернутой форме записи:

4 × 25 + 3 × 5 + 2 < 2 × 36 + А × 6 + 1,
откуда 107 < 73 + 6А, или 34 < 6А.

Так как А ≤ 5, то последнее неравенство не может достигаться ни при каких значениях А.

1.30. Возможны два варианта ответа:

1) 101 - 10² = 1 в десятичной системе;
2) 110 - 102 = 1 в троичной системе счисления.

¹ Задачи 1.5 и 1.6 подготовлены по материалам сайта
http://www.informatika.gym9.ed…

² Как отмечается в ответе к заданию 1.1, о недесятичных числах 12 и 13, строго говоря, нельзя говорить «двенадцать» и «тринадцать».

³ Обратим внимание на написание слов «шестеричная», «восьмеричная», «пятеричная» и т.п.

⁴ Развернутой формой записи целого неотрицательного числа А в p-ичной системе называется запись вида: а_nрⁿ + а_{n - 1}р^{n - 1} + а_{n - 2}р^{n - 2} + … + а₁р + а₀, 0 ≤ а_i < p, n ≥ 0, где p - основание позиционной системы счисления, а_i - цифры числа А в p-ичной системе [1]. Эта форма в основном используется для решения задач.

⁵ Так же, как правило, будем обозначать основание и при решении других задач.